Artigos sobre Modelagem matemática

LUNA, A.V.A. Modelagem Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental: um estudo de caso no 1º ciclo. In:
CONFERENCIA INTERAMERICANA DE EDUCACION MATEMATICA, 12, Santiago de Querétaro. Anais... Santiago
de Querétaro: Comitê Interamericano de Educación Matemática, 2007. 1 CDROM.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL: UM ESTUDO DE CASO NO 1º CICLO
Ana Virginia de Almeida Luna
Universidade Estadual de Feira de Santana
andrluna@uol.com.br
Resumo
A presente pesquisa está dirigida à compreensão de aspectos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem de conhecimentos matemáticos através do ambiente de Modelagem
Matemática. O objetivo da investigação foi contribuir para uma melhor compreensão sobre o papel das discussões matemáticas em situações de modelagem nas séries iniciais, com temas inicialmente propostos pela pesquisadora e, posteriormente, ampliados pelos sujeitos da pesquisa. A população investigada foi um grupo de segunda série do Ensino Fundamental
com uma professora e vinte e dois sujeitos, entre oito e nove anos de idade, em uma
instituição particular de ensino em Feira de Santana, no interior da Bahia, no Brasil. Para isso, a trajetória teórico-metodológica proposta partiu de uma abordagem qualitativa através do desenvolvimento de um estudo de caso, sendo os dados coletados a partir de registros orais transcritos de filmagens e de registros escritos realizados no decorrer do trabalho em sala de aula. A análise dos dados aponta que a Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem que favorece o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem da Matemática, propiciando o desenvolvimento de um pensamento mais crítico e reflexivo pelas crianças.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; ensino-aprendizagem; séries iniciais.
A origem da pesquisa e a fundamentação teórica
A investigação originou-se das inquietações de um grupo de formação de professoras, coordenado pela pesquisadora do presente estudo, com relação as suas dificuldades em organizar o ensino-aprendizagem da matemática nas séries iniciais do Ensino
Fundamental de forma reflexiva, o que desencadeou na elaboração e execução de uma proposta de trabalho com a Modelagem Matemática, que foi realizada por uma das professoras do grupo.
Na perspectiva de desenvolver uma proposta pedagógica envolvendo situações problema do mundo real, é que no grupo de formação continuada, referido acima, foi orientado um trabalho com a Modelagem Matemática, que gerou o projeto institucional,Circuito Matemático, no qual as professoras organizaram o trabalho com a matemática através de situações-problema a partir de um contexto real. Cabe destacar que todo o processo de desenvolvimento da ação pedagógica foi discutido nos encontros de formação.
O Circuito Matemático ocorreu através de um ambiente de modelagem, em que os alunos foram convidados a investigar o que é necessário para que seja possível montar estabelecimentos comerciais, como: restaurante; loja de conveniência e de brindes (agenda,calendário, régua); banco; entre outros; vinculados a estudos que as crianças desenvolvem na área de Ciências, por exemplo, na 2ª série, as crianças ao terem estudado o projeto “Cuide-se
bem” na primeira série e outro sobre o sistema digestório na segunda, montam um restaurante natural. Estes espaços comerciais funcionam simultaneamente pelo menos uma vez no ano envolvendo um circuito em que os alunos interagem com o sistema monetário, realizam transações comerciais e produzem escritas abordando diferentes conhecimentos matemáticos.
No grupo de formação foi selecionado para o presente estudo de caso o trabalho desenvolvido na turma da 2ª série, com o tema “Assim funciona um Restaurante Natural...”,
os alunos foram convidados para discutirem sobre o que necessário saber para ativar um restaurante natural.
A presente investigação foi fundamentada nos estudos de pesquisadores que
investigam a Modelagem Matemática. O termo modelagem não possui um único significado no contexto da Educação Matemática, nesta pesquisa são apresentadas concepções sobre modelagem de alguns educadores matemáticos, os brasileiros D’ Ambrósio(2002), Bassanezi
(2002), Barbosa (2001, 2006), Borba (1999), Biembengut (2003), os australianos Galbraith e Stilman (2006) e o sul africano Julie (2003).
De acordo com D’Ambrósio (2002) na formação de professores de matemática o
maior desafio é fazer uma matemática integrada ao pensamento moderno, para tanto ele sugere como estratégia a Modelagem Matemática a fim de criar oportunidades para a discussão de questões de natureza social, cultural, política e econômica, visto que a modelagem contribui para as ciências exatas, físicas e naturais.
De acordo com Bassanezi (2002), a modelagem pode ser entendida como um método científico ou como uma estratégia de ensino-aprendizagem, que envolve uma prática educativa em matemática, em que o que interessa não é encontrar um modelo bem sucedido,mas caminhar seguindo etapas a fim de que o conteúdo matemático seja sistematizado e aplicado.
Já para Barbosa (2001), a modelagem é um ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a indagar, por meio da Matemática, situações provenientes de outras áreas. Essa abordagem é denominada de Modelagem Matemática Sócio-crítica, as atividades desenvolvidas neste ambiente de aprendizagem provocam elaboração de modelos matemáticos para a resolução das situações reais que evidenciam o caráter social e cultural da
matemática.
Na perspectiva de abordar um enfoque pedagógico, Borba (1999, p. 26) apresenta modelagem como sendo “uma concepção pedagógica na qual grupos escolhem um tema ou problema para ser investigado, e com o auxílio do professor desenvolvem tal investigação que muitas vezes envolve aspectos matemáticos”. Nesta concepção o professor não sabe previamente as perguntas que poderão surgir, visto que é o aluno que escolhe o tema a ser
pesquisado.
Ainda com um enfoque pedagógico, Biembengut (2003) afirma que a Modelagem
Matemática é a arte de expressar situações-problema do nosso cotidiano através da linguagemMatemática. A pesquisadora considera a modelagem como um ramo próprio que serve para orientar sobre como o professor pode fazer para ensinar melhor.
Por fim, conforme Galbraith e Stilman(2006) e Julie(2003), que abordam o enfoque pedagógico, a modelagem é um processo em que a motivação é dada a partir de problemas reais. Nesta perspectiva, a modelagem não é usada visando resultados matemáticos, embora o mesmo possa ocorrer como um benefício extra.
Considerando as diferentes concepções sobre modelagem - método científico ou como uma estratégia de ensino-aprendizagem, ambiente de aprendizagem e o enfoque pedagógico - apresentadas, é possível perceber que existe uma característica comum entre as mesmas que é a resolução de problemas da realidade ou de outras áreas do conhecimento utilizando a Matemática (MALHEIROS, 2004).
Assim, ao partir de uma reflexão sobre um problema real, que aparentemente não envolve a matemática, o aluno pode se surpreender com a obtenção de um modelo matemático que provoca a verificação da informação em questão, viabilizando o ensino doconteúdo matemático.
Barbosa (2006, p.2) apresenta “a noção de espaços de interação para denotar os momentos em que os alunos e professores interagem verbalmente sobre uma atividade de modelagem”. Conforme Barbosa (2006), devem ser consideradas três tipos de discussões nos
espaços de interação: as matemáticas que se referem às idéias pertencentes ao campo da matemática pura; as técnicas que se refere a construção de técnicas do modelo matemático e as reflexivas que se refere a natureza do modelo matemático aos critérios usados em sua construção e suas conseqüências.
Nesta investigação a concepção de modelagem está respaldada com ênfase na
perspectiva de Barbosa (2003), na qual a modelagem pode ser materializada no espaço de sala de aula em três níveis: o primeiro trata da problematização de algum episódio real, com os dados quantitativos e qualitativos sendo fornecidos pelo professor, sendo a investigação feita
pelos alunos; no segundo nível o professor apresenta a problematização e as informações necessárias para a resolução são coletadas e investigadas pelos alunos e no terceiro nível ocorre a partir de um tema não-matemático, no qual os alunos são responsáveis pela formulação do problema, coleta e solução.
No presente estudo de caso envolvendo a modelagem matemática, com o tema de
estudo “Assim funciona um Restaurante Natural...”, os alunos foram convidados, de acordo com o segundo nível proposto por Barbosa (2003), para discutirem sobre o que necessário saber para o funcionamento de um restaurante natural.
Com isso, o objetivo da investigação foi contribuir para uma melhor compreensão sobre o papel das discussões matemáticas em situações de modelagem nas séries iniciais, com o tema proposto pela pesquisadora e, posteriormente, ampliado pelos sujeitos da pesquisa.
Opções metodológicas e o contexto da pesquisa
A trajetória teórico-metodológica proposta partiu de uma abordagem qualitativa quede acordo com Bogdan e Biklen (1994, p.16) visa "a compreensão dos comportamentos a partir da perspectiva dos sujeitos da investigação", correlacionada ao contexto do qual fazem
parte.Neste tipo de abordagem metodológica a fonte direta dos dados é o ambiente natural,sendo o investigador o instrumento principal; a investigação é descritiva; os investigadores interessam-se mais pelos processos do que pelos resultados ou produtos; os dados tendem a
ser analisados de forma indutiva e o significado que produz é de importância vital.
A pesquisa foi desenvolvida através de um estudo de caso. Segundo Lüdke (1986)“os estudos de caso visam à descoberta. Mesmo que o investigador parta de alguns pressupostos teóricos iniciais, ele procura se manter constantemente atento a novos elementos
que podem emergir como importantes durante o estudo”.
A população investigada foi um grupo de segunda série do Ensino Fundamental com uma professora e vinte e dois sujeitos, entre oito e nove anos de idade, em uma instituição particular de ensino em Feira de Santana, no interior da Bahia, no Brasil.
Face ao exposto, a partir de uma abordagem qualitativa esse estudo permitiu, como
aponta Goldenberg (1998, p. 63) à pesquisadora “observar diretamente, como cada indivíduo,grupo ou instituição experimenta, concretamente, a realidade pesquisada”, tendo em vista que durante a pesquisa buscou-se refletir sobre as discussões matemáticas em um ambiente de
modelagem.
Desse modo, procurou-se colocar em destaque alguns aspectos que caracterizam o modo como os alunos podem perceber a matemática através da Modelagem Matemática. Para tanto, os dados foram coletados a partir de registros orais transcritos de filmagens e de registros escritos realizados no decorrer do trabalho em sala de aula.
Análise dos resultados: a vivência em sala de aula através do ambiente de Modelagem Matemática
Como já foi mencionado anteriormente o ambiente de Modelagem Matemática que é objeto do presente estudo, gerou o projeto institucional, Circuito Matemático, no qual as professoras organizam o trabalho com a matemática através de situações-problema a partir de um contexto real.
Vale ressaltar, no entanto, que a investigação sobre o restaurante natural foi um tema instigante para os alunos da 2ª série, pois na 1ª série eles desenvolveram um estudo com o tema “Cuide-se bem”, na área de Ciências Naturais, que teve como um de seus principais
objetivos refletir sobre os benefícios de uma alimentação saudável para o desenvolvimento do corpo humano. Os alunos tiveram oportunidade de realizar a análise do seu cardápio semanal, através de encontros com nutricionistas, análise dos rótulos dos alimentos consumidos em
relação ao valor nutritivo de cada alimento, descobriram que nem sempre o alimento mais gostoso é o mais nutritivo e que muitos alimentos naturais são nutritivos e apetitosos, pesquisaram receitas de alimentos ricos em nutrientes e construíram cardápios com orientação da nutricionista. Além disso, este trabalho gerou uma mudança no cardápio da
cantina da escola, que atualmente não trabalha mais com refrigerantes e frituras.
Para a análise do estudo envolvendo a Modelagem Matemática, com o tema “Assim funciona um Restaurante Natural...”, no qual os alunos foram convidados a discutirem sobre o
que necessário saber para ativar um restaurante natural, considerando a clientela da escola
adultos (funcionários) e crianças (alunos) a partir de dados da realidade.
O convite gerou uma grande mobilização no grupo:
Profª – O que vocês acham de montarmos um restaurante natural durante o
circuito?
Cça – Acho ótimo. Adoro comida natural.
Cça – Eu também acho legal. Na primeira série a gente tinha um projeto
chamado Cuide-se bem e a gente já sabe que comer muita gordura faz mal.
Cça – Ah pró, eu não gosto de comida natural não. Acho muito sem graça.
Só tem coisa sem sal e sem açúcar...
Cças: – Precisamos visitar um restaurante natural para a gente ver como é.
A partir da sugestão de alguns alunos a professora lançou a proposta da visita, o
grupo reagiu com grande entusiasmo. Até mesmo aqueles que resistiam à idéia, agradaram-se
com a possibilidade de conhecer mais de perto esse tipo de restaurante. O entusiasmo tomou
conta do grupo. Os alunos fizeram, então, o levantamento de alguns restaurantes naturais da
cidade e elegeram o que ficava mais próximo da escola para a visita, neste momento uma das
crianças disse que já estivera neste restaurante e que havia gostado muito da comida.
Durante a visita as crianças observaram o restaurante, sua organização, cardápio e
entrevistaram a proprietária do local. Neste momento os alunos começaram a levantar
questões sobre o funcionamento do restaurante, que favoreceu a interação dos mesmos com a
realidade.
Cça: - Qual o critério que a senhora utiliza para a escolha dos pratos?
Proprietária: - Procuro saber o que as pessoas estão mais interessadas em
comer e então, vou incluindo os pratos no cardápio.
Cça: – Qual o dia da semana em que o restaurante tem mais movimento?
Proprietária: – Dia de quarta-feira.
Cca: – Por quê?
Proprietária: – Acho que é por causa do cardápio. São massas: pizzas,
estrogonofes, lasanhas.
Cça: – Vocês também fazem essas coisas?
Proprietária: – Claro. E fazemos muito mais. Temos hambúrgueres,
cachorro-quente, empadinha, tortas. Tudo que vocês estão acostumados a
comer em shoppings e lanchonetes. Só que com ingredientes diferentes.
Cça : – Que tipo de ingredientes vocês utilizam?
Proprietária: – Trabalhamos com todos os tipos de verduras, legumes e
hortaliças. Utilizamos soja, glúten, granola, lentilha, arroz integral, gérmen
de trigo, linhaça, castanhas e muitos outros.
Cça: – Quantos pratos são servidos no mesmo dia?
Proprietária: – Temos oito opções fixas e três que se alternam. Fora a
variedade de saladas. Feijões mesmo são vários tipos.
Cça: – Que horas vocês começam a cozinhar?
Proprietária: – Tem dias, a depender do cardápio, que começamos as seis
horas da manhã.
Cça: - Quanto tempo em média vocês gastam para o preparo dos alimentos?
Proprietária – Mais ou menos 3 a 4 horas por dia.
Profª: - Vocês acham que é muito tempo?
Cça: – Acho que sim. É quase o mesmo tempo que passamos na escola.
Em seguida, com as informações documentadas durante a visita, as crianças sentiram a
necessidade de fazer uma enquête com os alunos e funcionários da escola sobre os itens que
deveriam constar no cardápio do restaurante natural a ser montado durante o Circuito
Matemático.
Com os resultados da enquête os alunos da segunda série decidiram inserir sanduíches
naturais no cardápio do restaurante que iam montar, pois foi o item que mais apareceu. Com
isso, na seqüência do trabalho sentiram a necessidade de pesquisar e experimentar algumas
receitas para selecionarem os tipos de sanduíches que deveriam constar no cardápio.
Logo depois de terem feito a seleção, vivenciaram a preparação do sanduíche e
fizeram uma simulação do restaurante com os sanduíches sendo vendidos a quilo, visto que já
haviam decidido que o restaurante da escola venderia a quilo. A situação vivenciada gerou
várias discussões matemáticas no grupo. A seguir estão destacadas algumas:
Profª - O quilo do sanduíche está sendo vendido a R$ 8,00 e o sanduíche
que a criança X montou deu 500 gramas. Quanto ela irá pagar pelo
sanduíche?
Cça – R$ 4,00
Profª - Por quê?
Cça – Porque 500 gramas é metade de 1 quilo e 4 é metade 8.
Profª - Ok!
Cça: –Para pagar a compra ela deu uma nota de R$ 10,00. Quanto recebeu
de troco?
Cça - Ela recebeu R$ 6,00
Profª - Como você fez para descobrir isso?
Cça – E fácil. Se ela gastou R$ 4,00 e deu R$ 10,00 para pagar, receberá R$
6,00, porque 6 + 4 é igual a 10.
Profª - Que notas W que está no caixa poderia dar de troco para X?
Cça - Seis notas de R$ 1,00 ou três notas de R$ 2,00 porque 2+2+2=6.
Cça – Ela também poderia dar uma nota de R$ 5,00 e uma nota de R$ 1,00.
Nesta situação as crianças trabalharam com a balança de ponteiros, por isso tiveram
que fazer o cálculo do valor a ser cobrado a partir da medida de massa, neste momento as
crianças apresentaram muitas questões em relação ao valor a ser cobrado no caso, por
exemplo, da medida de 200 g ou 400 g.
No grupo de formação, as professoras discutiram essas questões e foi sugerido ser
feito um trabalho com a interação dos alunos da segunda com os da quarta série, visto que as
crianças da quarta já tinham um conhecimento mais amplo sobre frações.
A professora propôs ao grupo e no segundo momento de simulação com os sanduíches
e demais alimentos, as crianças do grupo da segunda série interagiram com a quarta série, que
trouxe boas contribuições sobre os modelos matemáticos que favorecem o cálculo quando
trabalhamos com frações diferentes da metade.
No caso da medida 200g levantaram a possibilidade de pensarem oito reais dividido
em cinco partes. Observe a fala da criança de quarta série:
Cça: -1kg foi dividido em cinco partes, assim 200+200+200+200+200, e foi
tomado um destes 200 para representar o peso do sanduíche. Na hora de
pagar tem que fazer a mesma coisa com os R$ 8,00, dividir em cinco
partes.
Neste momento os alunos da quarta e da segunda utilizaram cédulas e moedas para
organizar o modelo: 1,50+1,50+1,50+1,50+1,50, viram que faltou R$0,50 para completar
R$8,00, então acrescentaram R$0,10 em cada R$1,50.
O caixa da segunda série disse: - Então vou cobrar R$ 1,60, também ele não
colocou quase nada no sanduíche.
Além dos modelos apresentados pelas crianças, no primeiro Circuito Matemático do
ano, no qual todos os estabelecimentos comerciais funcionaram simultaneamente, os alunos
se depararam com outros modelos matemáticos, inclusive com os algoritmos da adição e
subtração o que aconteceu de forma reflexiva, pois como o grupo já demonstrava
conhecimentos prévios, a discussão centrava mais na análise do valor posicional dos números,
revendo conceitos como o significado do “vai um”, através do confronto das operações
resolvidas pelos colegas e as hipóteses que formulavam. Vale ressaltar que as crianças
também fizeram uso da calculadora como instrumento de cálculo.
No restaurante as crianças, também, precisaram fazer a comparação de medidas e suas
equivalências (ml/l; g/kg), observando essas relações no momento de medir para prepararem
as receitas. No atendimento aos clientes havia necessidade de operar com quantidades de
refrigerantes, tais como: dividir refrigerante de dois litros entre copos de duzentos mililitros.
Com isso, o ambiente da modelagem favoreceu o estabelecimento de relações com o número e operações em diferentes contextos, com o estudo reflexivo do cálculo,
contemplando diferentes tipos -exato e aproximado, mental e escrito- e assim ampliando seus
conhecimentos e tornando funcional na vida prática e cotidiana. O trabalho realizado
favoreceu a interação das crianças com os conteúdos matemáticos de forma relacional e
interdependente.
Considerações finais
A análise dos dados aponta que a Modelagem Matemática é um ambiente de
aprendizagem que gera um significado mais amplo sobre a matemática, fazendo com que o
estudante perceba que modelos matemáticos fundamentam muitas de nossas decisões a
respeito da realidade em diversas atividades sociais.
Sendo assim, esta investigação oportunizou a compreensão sobre o modo como alunos
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental interagem com os conhecimentos matemáticos
na construção de modelos matemáticos para resolver situações propostas no ambiente de
modelagem.
Desse modo, os alunos podem refletir sobre a matemática, sobre o seu papel na
sociedade, envolvidos com problemas, discutindo as suas idéias e a dos parceiros e
escrevendo o que descobriram sobre as situações-problema reais.
Portanto, os resultados mostram a necessidade da incorporação no trabalho desde as
séries iniciais do Ensino Fundamental do ambiente da Modelagem Matemática, através da
interação dos alunos com situações reais que mobilizam variados conhecimentos
matemáticos.
Referências:
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253 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências
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___________ J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. In: Perspectiva, Erechim (RS), v.
27, n. 98, p. 65-74, junho/2003.
LUNA, A.V.A. Modelagem Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental: um estudo de caso no 1º ciclo. In:
CONFERENCIA INTERAMERICANA DE EDUCACION MATEMATICA, 12, Santiago de Querétaro. Anais... Santiago
de Querétaro: Comitê Interamericano de Educación Matemática, 2007. 1 CDROM.
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_______________Mathematical modelling in classroom: a sócio-critical and discursive
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BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
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JULIE, C. Work moments in mathematical modelling by practicing mathematics teachers
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MALHEIROS, A. P. S. A Produção Matemática dos Alunos em Ambiente de Modelagem.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, UNESP, Rio Claro, 2004.








































MODELAGEM MATEMÁTICA: UM ESTUDO SOBRE A MUDANÇA DOS PLANOS DE TELEFONIA

Ana Virginia de Almeida Luna
Universidade Estadual de Feira de Santana
andrluna@uol.com.br
Ana Rita Cerqueira Melo Santiago
Escola Despertar-FSA

Introdução

A investigação que originou o presente relato de experiência partiu das inquietações de um grupo de formação de professoras, coordenado pela primeira autora deste relato, com relação às dificuldades das profissionais na organização do ensino-aprendizagem da matemática no Ensino Fundamental de forma reflexiva e a partir de situações reais, o que desencadeou na elaboração e execução de uma proposta de trabalho com a Modelagem Matemática, que foi desenvolvida por uma das professoras do grupo.
A importância dos conhecimentos matemáticos utilizados em diversas atividades sociais, nas diferentes áreas de atuação profissional e a sua contribuição para o exercício da cidadania de forma consciente, faz com que a Modelagem Matemática seja percebida como uma perspectiva importante em busca de melhorias no processo de ensino-aprendizagem da Matemática, visando o desenvolvimento de um pensamento mais crítico e reflexivo pelos alunos.
A concepção de modelagem matemática adotada neste trabalho foi a do pesquisador Barbosa (2001a), que apresenta a modelagem como um ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a indagarem, por meio da Matemática, situações provenientes de outras áreas. Essa abordagem é denominada de Modelagem Matemática sócio-crítica, as atividades desenvolvidas neste ambiente de aprendizagem provocam elaboração de modelos matemáticos para a resolução das situações reais que evidenciam o caráter social e cultural da Matemática.
Conforme Barbosa (2001b) a modelagem pode ser materializada no espaço de sala de aula em três níveis: o primeiro trata da problematização de algum episódio real, com os dados quantitativos e qualitativos sendo fornecidos pelo professor, sendo a investigação feita pelos alunos; no segundo nível o professor apresenta a problematização e as informações necessárias para a resolução são coletadas e investigadas pelos alunos e no terceiro nível ocorre a partir de um tema não-matemático, no qual os alunos são responsáveis pela formulação do problema, coleta e solução.
No presente relato envolvendo a modelagem matemática, teve como tema de estudo a “Mudança do plano na telefonia fixa de pulsos para minutos”, os alunos foram convidados, de acordo com o segundo nível proposto por Barbosa (2001), para discutirem sobre os critérios de escolha do novo plano com a mudança de cobrança pelas empresas de telefonia, considerando as vantagens para o orçamento das suas famílias.
A tarifação por minutos foi estabelecida na renovação dos contratos de concessão, portanto a empresa de telefonia nacional começa a oferecer dois planos com ligações locais cobradas por minutos, e não mais por pulsos, a partir de março desse ano. Dessa forma, todos os consumidores serão diretamente atingidos com essa mudança. Então, partindo do pressuposto de que a Escola tem o papel de subsidiar aos alunos uma aprendizagem significativa e funcional, é que foi realizada um estudo, a partir do ambiente de modelagem matemática, com as crianças da quarta série, de modo que entendam como funcionam esses planos, investiguem e optem junto com sua família, de maneira crítica sobre o que é mais vantajoso: a cobrança por pulsos ou por minutos e quais os planos mais pertinentes, atuando, dessa forma, como consumidores ativos e interagindo com a sociedade.
Com isso, a tarefa dos alunos foi a coleta de dados e resolução da questão proposta para discussão pela professora. No decorrer da investigação os alunos acionaram saberes matemáticos relativos às operações de naturais e racionais já conhecidas e precisaram pesquisar em livros sobre procedimentos necessários para cálculo de média aritmética. As discussões ocorreram a partir das seguintes questões: A mudança traz prejuízos? O que é necessário considerar? Qual o levantamento de gastos nos últimos meses de cada família?
Através de pesquisas, discussões orais e registros escritos, as crianças realizaram a investigação sobre a mudança de plano da telefonia fixa. A partir da investigação sobre o tema, os alunos fizeram a análise sobre a opção mais vantajosa que a telefonia fixa oferece: pulsos ou minutos, posicionaram-se criticamente diante das mudanças de tarifação e aplicaram conhecimentos matemáticos para a resolução do problema.

O convite para o estudo

O trabalho foi iniciado com a proposta ao grupo sobre quem possuía telefone fixo. As respostas foram afirmativas por parte de todas as crianças. Então, o passo seguinte foi questioná-las sobre o conhecimento que tinham em torno da mudança de tarifação:

Profª: -As empresas de telecomunicações passarão a ter novos critérios para a cobrança de chamadas locais. Eu gostaria de ouvir de vocês se em suas casas esse assunto já foi, alguma vez comentado.
Os alunos, então, responderam:
Cça1: -Eu ouvi a amiga de minha mãe dizer que vai ter a mensalidade cobrada por minutos.
Cça 2:- Meu pai já falou disso.
Cça 3:- Não tenho certeza, mas acho que vai mudar a taxa de mensalidade.

Em seguida, os alunos foram convidados para investigarem as seguintes questões: qual é o impacto com a mudança de cobrança da telefonia no orçamento das famílias e quais critérios devem ser utilizados para a escolha do plano por cada família?
De modo geral, as crianças manifestaram curiosidade em estudar sobre o tema proposto, especialmente, para descobrirem sobre o que suas famílias sabiam.

O primeiro encontro após o convite

No primeiro encontro após o convite, as expectativas da professora foram grandes, no sentido de que o grupo daria uma resposta positiva que suscitaria uma rica discussão em classe, mas não foi exatamente isso o que aconteceu, pois muitos pais não tinham sequer ouvido falar sobre essa mudança:

Cça 2: -Acho que a Telemar já começou a mandar mensagens para as casas, mas meu pai ainda não leu.
Cça 3: -Meu pai ainda não ouviu falar.
Cça 4: -Mas pró, por que a gente ouviu falar tão pouco disso? Acho que o Jornal Nacional já devia ter falado mais vezes. Nem parece que vai ter mudança!


Diante disso, a professora então perguntou para o grupo se mesmo assim eles queriam dar continuidade a investigação. O grupo, logo se manifestou:

Cça5: -Pró, depois que você deixa a gente curioso, tá achando que a gente vai deixar pra lá? É bom que a gente ligue pra Telemar, é de graça e aí a gente pergunta à moça sobre essa mudança toda!
Profª: -Vocês concordam com a colega? Ela está dizendo que podemos ligar pra Telemar. Alguém tem outra sugestão?
Cça 6: -Internet, pró! Imprime a notícia e traz pra discutir aqui. Eu vou pedir pro meu pai acessar hoje de noite e amanhã eu trago!”
Profª: -Vocês estão dando ótimas sugestões, estão com postura de alunos de 4ª série mesmo! Isso é muito legal. Então vamos investigar mesmo, ok?!

O grupo decidiu pesquisar em casa e na biblioteca da escola notícias relacionadas ao tema, para o próximo encontro.

Roda de discussão das notícias encontradas

As crianças trouxeram as notícias e a partir destas começaram a perceber dados matemáticos. Elas se mostraram muito envolvidas com gráficos, tabelas, as quantidades que eram expostas, então foi uma tempestade de idéias e questionamentos.
Em uma das notícias eram evidenciadas questões relacionadas às dúvidas que os clientes da empresa de telefonia da cidade tinham em torno dessas mudanças, nesse sentido a notícia retirada do Jornal A Tarde(2007), trazia a tabela de valores e opções dos planos. As crianças solicitaram uma cópia da notícia, para que pudessem ler e explorar mais de perto. As cópias da notícia trazida pela aluna foram providenciadas e em grupo os alunos liam e discutiam o tema:

Cça:- Profª, aqui na tabela tá dizendo que têm vários tipos de planos que a gente pode escolher, mas falta dizer quantos minutos vale um pulso, porque se com pulsos temos 100 e com minutos temos 200, e diz que a tarifa não vai mudar, deve ser que cada pulso vale uns 2 minutos, porque 200 é o dobro de 100, ou os 100 do pulso é a metade de 200 dos minutos, então se a gente comparar, só assim vai dar a mesma coisa.
Cça: -No papel que veio na conta de minha casa, diz que são 230 minutos que temos direito de fixo pra fixo, mas a tarifa não é mais de uns 39 reais e sim de 42, então já aumentou 3 reais e isso não é a mesma coisa.
Cça: -Tô achando meio estranho porque se a gente não sabe mesmo como vão ser contados os minutos a empresa de telefonia pode enganar a gente e nossos pais perdem dinheiro.
Cça: -Aqui diz que um minuto vale alguns centavos, mas se passar 30 segundos falando, que é a metade do minuto que é 60 segundos, já conta todo! Que loucura!
Cça:-Também eu li que tem uma coisa de cobrar antes de completar a ligação: é um plano alternativo. Olhe, profª, eu acho que isso vai dar uma confusão e vai encarecer a conta de telefone!

No decorrer da socialização sobre as pesquisas que fizeram das notícias as crianças tiveram muitos elementos para argumentar sobre as mudanças no plano de telefonia. Enfatizaram a questão da internet discada que aumentaria o consumo do telefone, mas quem a tivesse não poderia optar pelo primeiro plano, o básico, se não seria mais caro, enfim, elencaram as características de cada plano e relacionaram com a sua realidade.

Discussão em torno das vantagens e desvantagens de se mudar de pulso para minutos

Com as descobertas que as crianças trouxeram sobre as pesquisas foi possível perceber que a interação com os pais estava acontecendo de maneira mais efetiva. Assim, as crianças já começavam a falar que explicaram aos pais como seriam as mudanças, que pediram para as mães ligarem para a empresa de telefonia da sua cidade, a fim de que pudessem fazer perguntas sobre a mudança de planos e perguntaram quantos minutos equivaliam a um pulso.
Nesta fase do trabalho o grupo estava ainda mais envolvido, então discutimos sobre o que precisávamos fazer para que cada aluno pudesse sugerir para a sua família o plano mais adequado. O grupo decidiu levar para o próximo encontro as últimas contas de telefone de suas residências, referentes aos três primeiros meses de 2007, para que pudessem analisar.
Neste momento as falas das crianças já eram diferentes, pois elas já traziam elementos que diziam respeito às leituras e pesquisas realizadas via telefone e notícias. Por isso, para finalizar o encontro foi lançada pela professora a seguinte questão:“ Na opinião de vocês, relacionando com as leituras e investigações feitas, o que é mais vantagem: ligações por pulsos ou por minutos?”

Cça: -A mudança das contas de telefone pulsos por minutos vai ser obrigatória. Se a pessoa não quiser escolher um dos planos vai ficar no básico.
Cça : -Pra saber se é melhor pulso ou minuto, tem que ver quantos minutos vai ficar conversando.
Cça : -Duplicaram os minutos porque são duas vezes menor que os pulsos.
Cça : -Para o pulso único vai ter dois minutos. Depois de três segundos conta um minuto.
Cça : -Quando tá chamando, conta o tempo que tá telefonando.Imagine! Pra mim isso é errado! A gente nem vai tá falando!
Cça : -Tem o plano alternativo, senão para internet discada não vai ter vantagem e o plano básico para quem usa até quatro minutos de telefone. Acho que assim melhora!
Cça : -Para saber a vantagem tem que saber quantos reais tem em um pulso, para poder saber se paga menos ou mais.
Cça : -Dentro de 100 pulsos tem quantos minutos?
Cça : -Os pulsos têm mais vantagem, se o minuto é quase a metade de 1 pulso, então o valor é mais barato... estou na dúvida.
Cça : -Pulso é mais vantagem. A gente pode falar mais.
Cça : - Pulso gasta menos porque tem mais tempo.
Cça : - Minuto é mais simples de entender, mais tempo e mais barato. Quer ver como é complicado: V. trouxe uma conta de telefone e na conta diz que teve 137 pulsos e que podia usar 100 pulsos, então 137 passou da conta, aí a mãe dela pagou R$ 20,71. A gente tem que fazer uma conta meio doida pra descobrir quanto foi cada pulso a mais.
Profª: Muito bem! Mas como podemos fazer essa conta que você fala?
Cça: -Bota aí no quadro, profª pra gente conseguir entender.
Profª: -Tentem fazer.
Cça:- Oh, acho que se em 137 pulsos que a mãe de V. pagou a mais tem 20 reais e 71 centavos de dinheiro, a gente vai ter que descobrir quanto pagou em 1 pulso.
Profª: - E como podemos fazer isso?
Cça: -Estimativa!
Cça: -Tentativa! Coloca 70 centavos!
Cça:- 70 é muito! Coloca 15 ou 14 centavos e multiplica por 137 pra ver se dar os 20 e poucos reais.

Na verdade o conhecimento que vinha à tona era o de regra de três, mas as crianças acionaram seus conhecimentos de estimativa e cálculo mental. Deu certo! Foi uma discussão efervescente! As crianças vibraram quando chegaram à conclusão de que seriam aproximadamente 15 centavos por pulso! Essas descobertas fizeram com que elas relacionassem a informação aos conhecimentos que já tinham sobre o valor das tarifas por minutos.

Cça : -O minuto é o triplo do pulso.
Cça : -Pulso tem mais tempo.
Cça :-Pulso tem mais valor do que minutos. Pulsos pode falar por mais tempo e paga menos.
Profª :-Algumas crianças aqui do grupo ligaram pra Telemar. A informação que vocês receberam, coincide com a conclusão que chegamos aqui?”
Cça: -A gente não perguntou quanto era um pulso, mas perguntamos quantos minutos tinha no pulso. Acho que no fim vai dar tudo no mesmo, porque um minuto quando for do normal vai ter mais ou menos 7 centavos, então de um pulso, como a moça falou tem 2 minutos, 7 vezes 2 é igual a 14, que é pertinho de 15, por causa de apenas 1 centavo.
Cça: -Mas de um em um centavo vai ter diferença quando multiplicar por 200, que vai ser uns 2 reais. Então encarece sim. Ai, profª, que coisa complicada, é tanto “numerozinho” pequeno que confunde a gente, mas eles vão fazer diferença. Na minha casa mesmo, tu precisa ver, as ligações são de 24 centavos,... quando soma tudo dá uns 30 reais, só desses pequenininhos, imagine!

A aula finalizou com um gostinho de quero mais das crianças. Se fosse possível, elas pediriam que ficassem a tarde toda naquela discussão. Então, para o encontro seguinte elas se comprometeram a levar as contas das suas casas.


Pesquisa das contas de telefones das famílias das crianças e escrita dos relatórios com as conclusões

A partir das contas de telefone, investigaram qual o valor médio que cada família deveria pagar tendo como parâmetro as contas de telefone que já possuíam.
Com as contas em mãos, o encontro fluiu de forma muito instigante para as crianças. Estavam experimentando calcular as taxas, analisar valores e pesquisar termos ou conteúdos para elas desconhecidos, mas que eram necessários para o momento.
Surgiu a necessidade de descobrir a média das três últimas contas de telefone fixo, de modo que pensassem sobre que valor aproximadamente podem vir as futuras contas de telefone, para que descobrissem se é vantagem ou desvantagem a opção que irão fazer. Como desconheciam como realizar esse cálculo começaram a levantar hipóteses:

Profª: -Para que possamos pensar em qual valor minhas próximas contas de telefone pode ter, o que preciso fazer?
Cça: - Somar todas!
Profª: -Somar todas é o suficiente?
Cça: - Não! Soma e subtrai!
Profª: - Subtrai para quê?

Como a professora já previa essa discussão disponibilizou alguns livros que se referiam ao conteúdo e depois de ter problematizado o tema, pediu que as crianças pesquisassem e socializassem o que encontraram sobre média e se iria ajudar para a resolução da questão que estavam resolvendo. Na pesquisa identificaram três formas de calcular média: a média aritmética, a moda e a mediana. Como não havia uma diferença muito grande nos valores da cada mês fizeram opção pelo cálculo da média aritmética.

Profª: -Para que possamos pensar em qual valor minhas próximas contas de telefone pode ter, o que preciso fazer?”
Cça: -Somar todas!
Profª: - Para calcular a média aritmética basta somar todas?
Cça: - Não! Soma e subtrai!”
Profª: - Subtrai para quê?
Cça: -Subtrai, não! Soma e divide!
Profª: -Por quanto?
Cça: -Pela quantidade de contas que tem. No nosso caso são 3, aí vai ter uma estimativa de quanto será o próximo pagamento.

Nesse momento as crianças utilizaram suas contas de telefone e com o apoio da calculadora, puderam chegar à conclusão de qual valor deveria ter em média nas suas próximas contas, a partir do momento que a maneira de tarifar mudasse.
Eu gostei muito de saber sobre isso, porque eu fiquei informada e posso informar a meus pais a tomarem a decisão porque eles não sabiam. Por exemplo, quando eu calculei as três últimas contas de telefone
Janeiro Fevereiro Março Média
R$ 82.50 R$93.60 R$ 84.90 R$ 87,00
somando os valores totais de minha conta de telefone de janeiro, fevereiro e março e dividindo por 3, deu R$87,00. Então as minhas próximas contas devem vir mais ou menos esse valor. Por isso que a escolha pra minha família vai ser o plano Fale (básico). Porque em minha casa ainda não tem internet e quando for ter vai ser a rádio, e a nossa conta de telefone usa pouco, porque uma parte do dinheiro paga para a assinatura, sobra só uns 40 a 50 reais que a gente usa.

Depois desse trabalho, foi feita uma retomada de muitos dos conhecimentos que haviam sido construídos ao longo do estudo, na qual os alunos puderam refletir sobre a matemática e o seu papel na sociedade, fatos que lhes proporcionaram a construção de conhecimentos matemáticos, que possibilitaram uma reflexão sobre que opção de plano fazer de forma consciente.
Os registros foram feitos através de relatórios por escrito, nos quais as crianças apresentaram as suas conclusões sobre a investigação realizada.
[...] Na verdade essas pesquisas que realizei foram muito importantes pra mim, porque não sabia nada sobre o assunto! Nem eu nem meus pais, agora, todos os dias que chego em casa, minha mãe já me pergunta a novidade do dia, ou seja, o que descobri de novo sobre a mudança de tarifas da telefonia.
Mas não vou parar por aqui não: minhas próximas contas vão chegar e as mudanças também, então como só mudou até agora em São Paulo, quando chegar a vez da Bahia vou poder dizer de verdade se é tão vantajoso como a empresa de telefonia afirma. Agora estou sabendo muitas estratégias pra descobrir essas vantagens e desvantagens, ainda mais que envolve contas, que eu adoro!
Relato feito por uma criança de 9 anos da 4ª série

A atividade favoreceu o envolvimento de alunos através do registro das suas idéias e das aprendizagens nas pesquisas e confronto com os parceiros sobre as questões pesquisadas.

Conclusões
Neste trabalho a Modelagem Matemática foi vivenciada, favorecendo aos alunos a interação com os conhecimentos matemáticos através de problemas reais. Com isso, as atividades auxiliadas pelas interações entre os alunos-alunos e alunos- professores, puderam gerar contribuições para o processo de ensino-aprendizagem da matemática.
Sendo assim, esta investigação oportunizou a compreensão sobre o modo como alunos podem interagir com os conhecimentos matemáticos na construção de modelos para resolver situações propostas no ambiente de modelagem.
A análise do presente relato aponta que a Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem que favorece o desenvolvimento de um pensamento mais crítico e reflexivo pelas crianças, visto que este gera um significado mais amplo sobre a matemática, fazendo com que os estudantes percebam que modelos matemáticos fundamentam muitas de nossas decisões a respeito da realidade em diversas atividades sociais.


Referências:
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: Anais da Reunião Anual da ANPED, 24. Caxambu. Rio de Janeiro: ANPED, 2001a.
__________ Modelagem matemática e os professores: a questão da formação. In: Bolema, Rio Claro, n.15, p. 5-23, 2001b.

Tire suas dúvidas sobre a mudança na cobrança do telefone fixo. In: http://www3.atarde.com.br/framework/componentes/cp_imprimirnoticias.jsp?ids=1058727 < Acessado em 02/03/2007.